基礎理論・2/13・12分

負数の表し方と2の補数

ゴール

負の数を2の補数で表す・読み戻す計算（固定小数点を含む）ができ、1の補数・符号付き絶対値との違い、8ビットで表せる範囲、下位ビットと余りの関係を問う問題を自力で解けるようになる。

コンピュータは引き算を「負の数の足し算」として計算するので、負の数の表し方は計算の仕組みそのものです。手順さえ覚えれば確実に取れる計算問題なので、科目Aの得点源になります。

結論：2の補数は「全ビット反転して＋1」

負の数を2の補数で表すときは、絶対値を2進数にし、全ビットを反転（0と1を入れ替え）して、最後に1を足します。逆に、2の補数で表された負の数から絶対値を求めるときも、**同じ「反転して＋1」**をします。行きも帰りも同じ操作なので、覚えることは1つだけです。

例：8ビットで −82 を表す場合

手順	ビット列
82 を2進数にする	01010010
全ビット反転	10101101
＋1	10101110（これが −82）

**反転しただけで止めたもの（10101101）は「1の補数」**という別の表し方です。試験ではこの「＋1を忘れた値」が必ず選択肢に入っています。

たとえ：車の走行距離メーターを巻き戻す

4桁のメーターが 0000 のときに1つ巻き戻すと 9999 になります。つまり「9999 は 0 の1つ手前＝−1」と読む決まりにしてしまう、というのが補数の考え方です。2進数でも同じで、8ビットの 00000000 から1引くと 11111111 になり、これを −1 とします。

式で書くと、nビットの2の補数は 2^n − 絶対値 です。8ビットなら 256 − 82 = 174 = 10101110 となり、「反転して＋1」と同じ結果になります。検算に使えます。

8ビットの値を一周する輪に並べると、0 から1つ戻った 11111111 が −1 になり、127 の次が −128 になる。

全ビットが1のときは −1

11111111 に 1 を足すと 1 00000000 となり、9ビット目にはみ出した1（桁上がり＝キャリー）は捨てます。残るのは 00000000＝0 なので、「1を足すと0になる数」＝ −1 です。nビットでも同じで、1111…11 は常に −1 です。

ここで捨てたキャリーは2の補数の足し算では正常な動作で、オーバフローではありません。−1＋1＝0 は表せる範囲に収まった正しい結果です。オーバフローは、結果そのものが範囲（8ビットなら −128〜127）を超えたとき、例えば 127＋1 で起きます。

先頭ビットは符号を表す

2の補数では、最上位ビット（左端）が0なら0以上、1なら負です。選択肢で負の数を答える問題なら、先頭が0の選択肢はその場で消せます。

ただし、先頭ビットは「符号だけを表す飾り」ではなく、−2^(n−1) の重みを持つ桁として計算に参加しています。8ビットなら先頭は −128 の重みで、10101110 = −128 ＋ 32 ＋ 8 ＋ 4 ＋ 2 = −82 と直接計算することもできます。

10101110 の各ビットに重みを掛けると、先頭の −128 も計算に参加して合計 −82 になる。

固定小数点のときは「最下位ビットに＋1」

固定小数点数は、小数点の位置をあらかじめ決めておく表し方です。2の補数にする手順は整数と同じで、「＋1」は一番右のビットに足します。小数部が4ビットなら、その1は 1/16 の重みです。

楽な方法として、小数点以下のビット数ぶん2倍して整数にしてから計算できます。小数部4ビットなら ×16 して整数として2の補数を作り、ビット列はそのまま答えになります。

小数部4ビットの固定小数点では＋1を一番右（1/16 の重み）に足す。×16 すると小数点が右端に移り、整数と同じ手順で計算できる。

負の数の3つの表し方を比較

試験では同じビット列を3通りに読ませる問題が出ます。4ビットの 1101 で比べると次のとおりです。

方式	負の数の作り方	1101 の値	0 の表し方	4ビットの範囲
2の補数	反転して＋1	−3	0000 の1通り	−8〜7
1の補数	反転だけ	−2	0000 と 1111 の2通り	−7〜7
符号付き絶対値	先頭を1にし、残りは絶対値そのまま	−5	0000 と 1000 の2通り	−7〜7

読み方：1の補数 1101 → 反転 0010＝2 → −2。2の補数 1101 → 反転して＋1 0011＝3 → −3。符号付き絶対値 1101 → 先頭1で負、残り101＝5 → −5。2の補数だけ0が1通りなので、負の側に1つ多く表せます。

同じ 1101 でも、方式によって数直線上の −5・−3・−2 の別々の位置を指す。

表せる範囲：8ビットは −128〜127

nビットの2の補数で表せる整数は −2^(n−1) 〜 2^(n−1)−1 です。0 を正の側に含めるので、正の側が1つ少なくなります。

表し方（8ビット）	範囲
符号なし	0〜255
2の補数	−128〜127
1の補数・符号付き絶対値	−127〜127

最小値 −128 は 10000000、最大値 127 は 01111111 です。「−127〜127」は1の補数か符号付き絶対値、「0〜255」は符号なしの範囲なので、見たら除外します。

下位2ビットと「4で割った余り」

下位2ビットは、その数を4で割った余りを表します（2^2＝4 なので）。下位2ビットが 11 なら、正の数は 4×整数＋3 の形なので余り3です。例：7＝00000111、11＝00001011。

負の数では注意が要ります。−1＝11111111、−5＝11111011 も下位2ビットは 11 ですが、商を「絶対値の小数点以下を切り捨て」で求めると、−1÷4 は商0・余り −1、−5÷4 は商−1・余り −5−(−4)＝−1 です。つまり余りは3でも−3でもなく −1 になります。問題文の「除算の商は絶対値の小数点以下を切り捨て」という条件が、この符号の扱いを決めています。

試験での問われ方

変換問題：負の10進数→2の補数（固定小数点を含む）、または2の補数→絶対値。選択肢には1の補数（＋1忘れ）と小数点位置のずれが必ず入っている
全ビット1は？：−1。符号なしの 2^n−1 と取り違えさせる
方式の比較：同じビット列を3方式で読んで大小を並べる
範囲：8ビット −128〜127。−127〜127 や 0〜255 と取り違えさせる
余り：下位ビットから余りを推理する。正負で場合分けする

例題 1

−5.625 を8ビット固定小数点（小数部4ビット）の2の補数にする

10 進数 −5.625 を，8 ビット固定小数点形式による 2 進数で表したものはどれか。ここで，小数点位置は 3 ビット目と 4 ビット目の間とし，負数には 2 の補数表現を用いる。

8 個のマス目（左からビット 7，6，5，4，3，2，1，0）。ビット 3 とビット 4 の間（4 ビット目と 3 ビット目の間）に「小数点位置」の矢印。

ア 01001100
イ 10100101
ウ 10100110
エ 11010011

出典：平成23年度秋期基本情報技術者試験午前問2

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小数点はビット4とビット3の間なので、整数部4ビット（ビット7〜4）＋小数部4ビット（ビット3〜0）。
5.625 を整数部と小数部に分ける：5 と 0.625。
整数部 5 ＝ 0101（4＋1）。
小数部 0.625 ＝ 0.5 ＋ 0.125 ＝ 2^−1 ＋ 2^−3 なので、小数部4ビットは 1010。
＋5.625 ＝ 0101.1010 → ビット列 01011010。
全ビット反転：10100101（ここで止めると1の補数＝選択肢イのひっかけ）。
最下位ビットに1を足す：10100101 ＋ 00000001 ＝ 10100110。
検算：5.625 × 16 ＝ 90。256 − 90 ＝ 166 ＝ 10100110 で一致。
先頭が1で負の数になっていることも確認（先頭0のアは正の数なので除外）。

答え：10100110（ウ）

例題 2

2の補数 10101110 の絶対値を求める

2の補数で表された負数10101110の絶対値はどれか。

ア 01010000
イ 01010001
ウ 01010010
エ 01010011

出典：基本情報技術者試験科目A免除修了試験 20220612 実施分問3

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先頭ビットが1なので負の数。絶対値は「反転して＋1」で求める。
全ビット反転：10101110 → 01010001（ここで止めるとイのひっかけ）。
＋1：01010001 ＋ 00000001 ＝ 01010010。
検算：01010010 ＝ 64＋16＋2 ＝ 82。10101110 を直接読むと −128＋32＋8＋4＋2 ＝ −82 で一致。

答え：01010010（ウ）

例題 3

全ビットが1の nビット「1111…11」の値

負数を 2 の補数で表すとき，全てのビットが 1 である n ビットの 2 進数 “1111…11”が表す数値又はその数式はどれか。

ア－(2^(n－1)－1)
イ－1
ウ 0
エ 2^n－1

出典：基本情報技術者試験科目A免除修了試験 20200126 実施分問1

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1111…11 に 1 を足すと 1 0000…00 となり、最上位からはみ出した桁上がり（キャリー）を捨てると 0000…00 ＝ 0。
キャリーを捨てるのは2の補数の足し算の正常な動作で、オーバフローではない（−1＋1＝0 は範囲内の正しい結果）。
「1を足すと0になる数」なので −1。
エ（2^n−1）は同じビット列を符号なしで読んだ値なので誤り。

答え：−1（イ）

例題 4

4ビット 1101 を3方式で読んで小さい順に並べる

負の整数を表現する代表的な方法として，次の 3 種類がある。 a 1 の補数による表現 b 2 の補数による表現 c 絶対値に符号を付けた表現（左端ビットが 0 の場合は正，1 の場合は負） 4 ビットのパターン 1101 を a～c の方法で表現したものと解釈したとき，値が小さい順になるように三つの方法を並べたものはどれか。

ア a，c，b
イ b，a，c
ウ b，c，a
エ c，b，a

出典：基本情報技術者試験科目A免除修了試験 20190728 実施分問2

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a 1の補数：先頭1なので負。反転 0010 ＝ 2 → −2。
b 2の補数：先頭1なので負。反転して＋1：0010＋1 ＝ 0011 ＝ 3 → −3。（別解：−8＋4＋1 ＝ −3）
c 符号付き絶対値：先頭1で負、残り 101 ＝ 5 → −5。
小さい順：−5（c）＜ −3（b）＜ −2（a）。

答え：c，b，a（エ）

例題 5

下位2ビットが「11」の整数を4で割った余り

ある整数値を，負数を 2 の補数で表現する 2 進表記法で表すと最下位 2 ビットは“11”であった。10 進表記法の下で，その整数値を 4 で割ったときの余りに関する記述として，適切なものはどれか。ここで，除算の商は，絶対値の小数点以下を切り捨てるものとする。

アその整数値が正ならば 3
イその整数値が負ならば -3
ウその整数値が負ならば 3
エその整数値の正負にかかわらず 0

出典：平成30年度春期基本情報技術者試験午前問1

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下位2ビットは4で割った余りの情報を持つ（2^2＝4）。
正の場合：例 3＝011、7＝111、11＝1011。どれも 4×整数＋3 なので余りは3 → アは正しい。
負の場合：例 −1＝11111111。−1÷4 ＝ −0.25 → 絶対値の切り捨てで商0、余り −1 − 0 ＝ −1。
別の負の例 −5＝11111011。−5÷4 ＝ −1.25 → 商 −1、余り −5 − (−4) ＝ −1。
負なら余りは −1 なので、イ（−3）・ウ（3）は誤り。0 になる例もないのでエも誤り。

答え：その整数値が正ならば3（ア）

要点（試験直前に読む）

2の補数は「全ビット反転して＋1」。負→絶対値に戻すときも同じ操作。
検算は「2^n − 絶対値」。8ビットなら 256 − 絶対値。
全ビット1（1111…11）は −1。出たキャリーを捨てるのは正常で、オーバフローではない。
8ビットの2の補数は −128〜127（nビットなら −2^(n−1)〜2^(n−1)−1）。
1101 は 1の補数 −2／2の補数 −3／符号付き絶対値 −5。
固定小数点は小数部のビット数ぶん2倍して整数にしてから計算すると楽（小数部4ビットなら ×16）。

ひっかけ

反転だけして＋1を忘れた値（1の補数）が必ず選択肢にある → 最後に「＋1したか」を確認する。
固定小数点で小数点の位置をずらした値 → 図で小数点がどのビットの間か数え直し、×2^(小数部ビット数) の整数で検算する。
範囲で −127〜127（1の補数・符号付き絶対値）や 0〜255（符号なし）を混ぜてくる → 2の補数は負の側が1つ多い −128〜127。
1111…11 を符号なしの 2^n−1 と読ませる → 2の補数なら −1。
負の数でも余りは3（または−3）と思わせる → 絶対値の切り捨てなら、下位2ビット11の負の数の余りは −1。−1 や −5 で実際に計算して確かめる。

用語（11）

2の補数 にのほすう
負の数を「絶対値の全ビットを反転して1を足した値（＝2^n−絶対値）」で表す方式で、コンピュータの整数表現の標準。
⚠ 1の補数は反転だけで＋1をしない。選択肢で「＋1忘れ」の値が出たらそれが1の補数。

1の補数 いちのほすう
負の数を絶対値の全ビットを反転しただけの値で表す方式。
⚠ 2の補数との違いは＋1の有無。1の補数は0が2通り（0000と1111）あり、範囲が −127〜127（8ビット）になる。

符号付き絶対値表現 ふごうつきぜったいちひょうげん
先頭ビットを符号（0が正・1が負）にし、残りのビットに絶対値をそのまま入れる方式。
⚠ 補数系と違い、残りのビットを反転しない。1101 は −5（2の補数なら −3）。

符号ビット ふごうビット
最上位ビットのことで、0なら0以上、1なら負の数を示す。
⚠ 2の補数では符号を示すだけでなく −2^(n−1) の重みを持つ桁として計算に参加する。

最上位ビット MSB（Most Significant Bit）
ビット列の一番左、重みが最も大きいビット。
⚠ 最下位ビット（LSB）は一番右。「＋1」はLSBに足す。

最下位ビット LSB（Least Significant Bit）
ビット列の一番右、重みが最も小さいビット。
⚠ 固定小数点では、LSBの重みは1ではなく小数部の最小単位（小数部4ビットなら1/16）。

固定小数点数 こていしょうすうてんすう
小数点の位置をあらかじめ決めておき、その位置を前提にビット列を読む数の表し方。
⚠ 浮動小数点数は指数部で小数点の位置を動かす別方式。固定小数点の問題では小数点がどのビットの間かを必ず確認する。

桁上がり（キャリー） けたあがり（Carry）
足し算で最上位ビットからはみ出す1のこと。
⚠ 2の補数の足し算でキャリーを捨てるのは正常な動作で、オーバフローではない。11111111（−1）＋1＝0 はキャリーが出るが範囲内の正しい結果。

オーバフロー Overflow（桁あふれ）
計算結果がそのビット数で表せる範囲を超えて、正しい値を表せなくなること。
⚠ キャリーとは別物。8ビットの2の補数では結果が −128〜127 を超えたとき（例：127＋1 が 10000000＝−128 になってしまう）に起きる。

表現範囲 ひょうげんはんい
nビットで表せる数の最小値から最大値までの幅で、2の補数なら −2^(n−1)〜2^(n−1)−1。
⚠ 符号なしは 0〜2^n−1、1の補数・符号付き絶対値は −(2^(n−1)−1)〜2^(n−1)−1。8ビットなら 0〜255 と −127〜127。

剰余じょうよ
割り算の余りのこと。
⚠ 負の数では商の決め方（絶対値の切り捨てか、小さい方への切り捨てか）で余りの符号が変わる。問題文の条件を必ず読む。

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