n進数の基数変換と必要なビット数

結論：n進数は「桁の重み」を掛けて足すだけ

n進数（基数nの数）は、各桁に「nのべき乗」の重みが付いた数です。基数とは「何個たまったら次の桁へ繰り上がるか」の数で、10進なら10、2進なら2、16進なら16です。小数点より右の桁は、n^-1、n^-2…という負のべき乗の重みになります。

たとえるなら硬貨の金種です。10進は「1円玉・10円玉・100円玉」、2進は「1・2・4・8…円玉」の世界で、金種ごとの枚数を書いたものが数字の並びだと考えてください。

16進数では10〜15を1文字で書くため、A=10、B=11、C=12、D=13、E=14、F=15 を使います。ここは丸暗記してください。

n進小数→10進（最頻出）

出題回数がいちばん多いのがこの型です。手順は次の2つのどちらかを使います。

1. 桁ごとに重みを掛けて足す：0.C(16) = 12 × 16^-1 = 12/16 = 0.75
2. まとめて割る（近道）：小数点以下が k 桁なら、数字の並びを整数として読み、n^k で割る。0.248(16) なら 248(16)=584 を 16^3=4096 で割って 584/4096 = 73/512

近道2は、10進の 0.248 = 248/1000 と同じ考え方を16進に当てはめたものです。分母は 10^k ではなく n^k になる点だけ注意してください。選択肢が分数のときは近道2、小数のときは近道1が速いです。

10進→2進小数：割り算なら「小数点を左へずらす」

「7÷32」のように 2のべき乗で割る式は、割る数が 2^k なら、割られる数を2進にしてから小数点を左へ k 桁ずらすだけです。32 = 2^5 なので、7 = 111(2) の小数点を5桁左へずらして 0.00111 になります。

普通の10進小数（例：0.375）を2進にするときは、2を掛けて整数部を取り出す作業をくり返します。

上から順に並べて 0.375 = 0.011(2) です。小数部が0になったら終わりです。

2進で有限小数か無限小数か

既約分数（これ以上約分できない分数）にしたとき、分母が2のべき乗（2,4,8,16…）なら有限、それ以外の素因数（3や5など）を含むと無限小数になります。10進で 1/3 が 0.333… と終わらないのと同じ理屈です。

「10進で有限だから2進でも有限」は成り立ちません。分母に5が残るかどうかを見ます。

何進法で式が成り立つか（基数の特定）

基数を n と置き、各数を「n のべき乗の和」に展開して方程式を解きます。131(n) = n²+3n+1、45(n) = 4n+5 のように書けます。

式に出てくる最大の数字が5なら「6進以上」とは言えますが、それは下限にすぎません。試験では選択肢の基数を実際に代入して確かめるのが確実です。7進なら 131=71、45=33、53=38 で、71−33=38 と成立します。

必要なビット数とビットパターンの個数

ビットは0か1の1桁、バイトは8ビットです。n ビットで作れるビットパターン（0と1の並び）は 2^n 通りです。ここからすべて導けます。

• 何ビット必要か：種類数以上になる最小の 2^n を探す。36種なら 2^5=32 では足りず 2^6=64 で 6ビット。
• 何倍か：2^32 ÷ 2^24 = 2^(32−24) = 2^8 = 256倍。ビット数の差8をそのまま答えにしない。
• 0と1が4個ずつで最大の8ビット：大きい桁に1を寄せた 11110000(2) = 128+64+32+16 = 240。

10進の桁数と2進の桁数（対数）

出題は少ないので結論だけ覚えます。2進 B 桁で表せる大きさは約 2^B、10進 D 桁なら約 10^D なので、2^B ≒ 10^D と置きます。両辺の常用対数（底が10の対数、log10）をとると D ≒ B log10 2 です。

確かめ方：log10 2 ≒ 0.3 なので D は約 0.3B です。2^10 = 1024 ≒ 10^3 なので、B=10 のとき D≒3 となり、式と合います。1024 自体は4桁ですが、この近似は桁数そのものではなく 10^D の指数で見ているので、実際の桁数とは1ずれることがあります。

文字コード：UCS-2 は「全部2バイト」

文字コードは、文字に番号（ビットパターン）を割り当てる約束事です。出題は少ないですが、選択肢の見分けだけ押さえます。