統計のばらつきと相関

結論：4つの指標は「何を表すか」で区別する

このレッスンでは計算より読み取りが中心になる。指標ごとに何を表すかを覚えれば、ほとんどの選択肢を消せる。

正規分布：平均を中心にした左右対称の釣鐘形

正規分布とは、身長やテストの点数のような自然なばらつきによく現れる、連続的な確率分布のこと。グラフは平均を頂点にした左右対称の釣鐘形になる。山の横の広がりは**標準偏差（σ、シグマ）**で決まり、σが大きいほど山は低く横に広がる。

平均±何σの範囲にどれだけ入るか（免除試験で出題あり）

（μ（ミュー）は平均のこと）

ほかの分布との区別

グラフ問題の見分け方

• 左右対称でない図は×。
• 山が2つある図（2峰性）は×。
• 幅10が60〜70（平均から+1σ分）なら σ=10。55〜65の間に幅10が示される図は σ=5 の分布なので、σ=10 にならず不適。

標準偏差の性質：足し算では変わらず、掛け算ではその倍率で変わる

標準偏差とは、各データが平均からどれだけ離れているかを平均した大きさのこと（分散の平方根）。分散は「平均との差の2乗」の平均。

たとえば、クラス全員が厚さ5cmの靴を履くと、全員の身長は5cm増えるが、背の高さの差は変わらない。単位をcmからmmに変えると数値は全部10倍になり、差も10倍になる。

試験では「a を足すと標準偏差も a 増える」「2倍すると1/2になる」という誤りの選択肢が出る。

相関係数：符号は向き、絶対値は強さ

相関係数とは、2つの量（例: 勉強時間と点数）が直線的にどれだけ一緒に動くかを−1〜+1で表した値のこと。符号で向き（右上がりか右下がりか）が、絶対値で強さ（点が直線にどれだけ近く並ぶか）が分かる。

注意点は2つある。

• 関係が直線でない場合（例: U字形）は、関係があっても相関係数は0に近くなることがある。「非線形なら負になる」わけではない。
• 無相関は0。−1は「完全な負の相関」で、無相関ではない。

回帰直線：傾きと切片をそのまま読む

回帰直線とは、散布図の点の並びに最もよく合う直線 y = ax + b のこと。傾き a は x が1増えたときの y の変化量、切片 b は x = 0 のときの y の予測値を表す。

2010年度の問題は y = 1.1x + 10（x = 昨年度の得点、y = 今年度の得点）。どの得点 x でも 1.1x + 10 は x より大きいので、「同じ人なら今年度の方が高い点をとる傾向がある＝今年度の方が得点しやすい」と読める。

読み方を間違えやすいところ

• 切片は x = 0 のときの y。「昨年度0点の人が今年度は10点程度」が正しい読み方で、xとyを入れ替えて読まない。
• 傾き1.1は「平均点が1.1倍」という意味ではない（回帰直線は平均点の組を通るので、今年度の平均 = 1.1×昨年度の平均 + 10 になる）。
• 相関係数から分かるのは直線的な関係の向きと強さ、傾きから分かるのは x が1増えたときの y の変化量。どちらからも問題の質のような価値判断はできない。

三角グラフ：3つの割合を1つの点で表す

三角グラフとは、合計が100%になる3つの要素の割合を、正三角形の中の1点で表すグラフのこと。正三角形の内部の点から3辺に下ろした垂線の長さの合計は常に一定なので、各辺への垂線の長さをその辺の要素の割合として使う。

いちばん多いミスは、「辺の上にある点はその要素だけを使っている」と逆に読むこと。辺の上にある点は、その要素を使っていない。