浮動小数点数と計算誤差

結論：誤差の用語は「どんな計算で起きるか」で見分ける

このレッスンの得点源は次の3つです。

• 桁落ち：ほぼ同じ値どうしの引き算で、有効桁が一気に減る
• 情報落ち：大きい数と小さい数の足し算・引き算で、小さい方が結果から消える
• 丸め誤差：桁数に限りがあるため、最下位桁より下を四捨五入・切上げ・切捨てして生じるずれ

この3つと、オーバフロー（最大値を超える）・打切り誤差を入れ替えて選択肢を作るのが定番です。まず数の表し方を押さえ、そのあとで誤差を区別します。

浮動小数点数＝「仮数 × 基数^指数」

浮動小数点数は、実数を a = f × r^e の形で表す方法です。電卓の「1.5E+8」（1.5×10^8）と同じ考え方で、小数点の位置を指数で動かせるので、とても大きい数も小さい数も同じ桁数で扱えます。

覚え方：「仮の数字に、基を、指数乗」。f・r・e の順に「仮数・基数・指数」です。

正規化とは、仮数部の最上位桁が 0 以外になるように指数と仮数を調整することです。0.0012×10^0 を 0.12×10^−2 に直すと、先頭の無駄な 0 が消え、限られた桁を有効数字に使えます。2進数なら「最上位桁を 1 にする」のと同じ意味です。

指数が負のときは、問題文で指定された方法（よく出るのは 2の補数）で表します。2の補数は「ビットを全部反転して 1 を足す」と作れます。

4つの誤差の比較表（ここが最重要）

選択肢の説明文は、次の順に当てはめると迷いません。

選択肢を読むときの判定手順

flowchart TD
  Q["選択肢の説明を読む"] --> A{"扱える最大値を超えた？"}
  A -->|"はい"| O["オーバフロー"]
  A -->|"いいえ"| B{"ほぼ等しい数の引き算？"}
  B -->|"はい"| K["桁落ち"]
  B -->|"いいえ"| C{"大きい数と小さい数の足し引き？"}
  C -->|"はい"| J["情報落ち"]
  C -->|"いいえ"| D{"最下位桁より下を四捨五入・切捨て？"}
  D -->|"はい"| M["丸め誤差"]
  D -->|"いいえ"| U["打切り誤差など他を疑う"]

情報落ち：小さい数が「消える」（免除12回・最頻出）

たとえば有効桁が4桁だとすると、1000 + 0.1 は 1000.1 ですが、5桁目以降は持てないため結果は 1000 のままです。小さい方の数が足した意味を失う現象が情報落ちです。トラックの重さを量る台に1円玉を載せても目盛りが変わらないのと同じです。

対策は「絶対値の小さい順に足す」。小さい数どうしを先に足してある程度の大きさにしておけば、大きい数に足したときに消えずに残ります。

• 出題パターン①：「小さいものから順番に足すのは何を抑えるためか」→ 情報落ち
• 出題パターン②：「情報落ちを防ぐ工夫は」→ 絶対値の小さい順。「大きい順」は逆に悪化させるひっかけです
• 「ほぼ等しい異符号どうしの加算を減らす」は桁落ちの対策なので、情報落ちの答えにはなりません

桁落ち：引き算で有効桁が「減る」（本試験2回・免除8回）

有効桁5桁の 1.2345 と 1.2344 の差は 0.0001 です。上の4桁が打ち消し合い、意味のある数字は 1桁だけになります。これが桁落ちで、元の値の小さな誤差が結果の中で急に大きな割合を占めるようになります。

起きる条件は「絶対値がほぼ等しく、同符号どうしの減算」（異符号どうしの加算も実質同じ）です。

情報落ちとの違いは、桁落ち＝似た数の引き算で桁が減る／情報落ち＝大小の差がある数の足し引きで小さい方が消えるです。名前が似ていても起きる計算がまったく違います。

丸め誤差：桁数の限界で必ず生じる（本試験2回・免除4回）

数を決まった桁数に収めるため、最下位桁より下を四捨五入・切上げ・切捨てしたときに生じるずれが丸め誤差です。10進の 0.1 は2進数では割り切れず無限に続くので、どこかで丸めた時点で誤差が生じます。

アナログ電圧をディジタル化すると、部品精度・温度変化・雑音の影響は受けにくくなります。ただし、変換誤差や丸め誤差がなくなるわけではありません。「誤差が発生しない」「遅延がない」と言い切る選択肢は誤りです。

相対誤差：誤差を真の値で割る（本試験1回）

相対誤差 = |近似値 − 真の値| ÷ 真の値 です。誤差の大きさそのもの（絶対誤差）ではなく、元の値に対して何割ずれたかで比べます。絶対誤差の大小で並べると逆の順になるよう作られた選択肢に注意してください。