待ち行列と数式の近似・極限

結論：このレッスンで覚えるのは6つの型

このレッスンの問題は、ほぼ次の6つの型に収まります。どれも「式を1回整理する」か「条件を1つ見抜く」だけで解けます。待ち行列の2つが少し厚め、残りは型を覚えれば十分です。

M/M/1 待ち行列とは：記号の意味と4つの前提

待ち行列理論は、「お客さんが来る→並ぶ→処理される」仕組みで、平均どれくらい待つかを計算する理論です。M/M/1 は、その中でいちばん単純なモデルの名前です。3つの記号は順に「到着のしかた / 処理時間のばらつき方 / 窓口の数」を表します。

たとえるなら、レジが1台だけのコンビニです。客は勝手なタイミングで来て、会計時間は人によってばらばら。行列が長くても入店を断らず、割り込みもさせない店、というイメージです。

試験では「前提に反しない運用はどれか」の形で出ます。前提に反する運用と比べると次のとおりです。

M/M/1 の待ち時間の式：ρ が 0.5 を超えると「待つ方が長い」

利用率 ρ（ロー） は、窓口がふさがっている時間の割合です（0〜1 の値）。M/M/1 では次の式が成り立ちます。

平均待ち時間 ＝ 平均サービス時間 × ρ / (1 − ρ)

平均サービス時間は、1件の処理そのものにかかる時間です（問題文では「平均伝送時間」などと呼ばれます）。ρ/(1−ρ) が「処理時間の何倍待つか」を表すので、ρ を入れて計算すれば倍率が分かります。

ρ が 1 に近づくと待ち時間は急に膨らみます。これが「サーバの利用率は余裕をもって設計する」理由です。なお、待ち時間に処理時間を足したもの（応答時間）は、処理時間 ÷ (1−ρ) になります。問題文で聞かれているのが「待ち時間」か「応答時間」かは必ず確認してください。

漸化式と不動点：まず f(n+1)＝○×f(n) に直す

漸化式は、「次の値を、いまの値から計算するルール」を書いた式です。読み方のコツは、左辺を f(n+1) だけにしてから倍率を読むことです。

例：f(n+1) ＋ 0.2×f(n) ＝ 2×f(n) → f(n+1) ＝ 2f(n) − 0.2f(n) ＝ 1.8×f(n)。つまり1世代後は 1.8倍です。選択肢の文章は 0.2 を「何に対する割合か」でずらしてきます。

不動点は、関数に入れても値が変わらない点（f(y)＝y となる y）です。「y←f(x)、x←y」を繰り返して y が変わらなくなったなら、そのとき f(y)＝y が成り立ちます。

分数関数の極限：最高次数を比べるだけ

極限（lim）は、t をどこまでも大きくしたときに値が近づく先のことです。t→∞ の分数は、分子と分母の最高次数（t の何乗がいちばん大きいか）を比べれば答えが決まります。

分数を分数で割る形 g(t)/f(t) は、先に「割る分数をひっくり返して掛ける」で1つの分数にまとめます。

(1+α)^n ≒ 1+nα の近似条件

(1+α)^n を展開すると 1 ＋ nα ＋ (α² の項) ＋ (α³ の項)… となります。|α| が 1 よりずっと小さいと、α²・α³ の項はほぼ 0 になるので、1+nα だけで近似できます（これを一次近似といいます）。たとえば 1.01^3 ＝ 1.030301 は、1＋3×0.01 ＝ 1.03 とほぼ同じです。

行の基本操作（掃き出し法）：3種類を見分ける

連立方程式の係数を表（行列）に並べ、行に操作を加えて解を出す方法を掃き出し法といいます。使える操作は次の3種類だけです。

判定のコツは、変化前後で「どの行が変わったか」と「変わった行の新しい値が、他の行から作れるか」を見ることです。